RELASI
KETERBAGIAN
Makalah
Disusun guna memenuhi
tugas
Mata Kuliah Teori
Bilangan
Dosen pengampu : Ahmad
Aunur Rohman, S. Pd. I
Disusun oleh :
Hadi Prasetyo (113511045)
Imroatun Ni’mah (113511046)
Lia Fitriana (113511047)
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM
NEGERI WALISONGO
SEMARANG
2012
I.
PENDAHULUAN
Teori bilaangan
adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari sifat-sifat keterbagian
bilangan bulat (integer), khususnya himpunan bilangan asli. Teori
bilangan berisi penelaahan sifat-sifat bulat dan penerapannya dalam kehidupan
sehari-hari.
Tetapi dalam makalah ini, kami hanya akan
membahas salah satu bab dari teori bilangan itu sendiri,
yaitu relasi keterbagian. Relasi
keterbagian merupakan sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan
yang habis oleh bilangan lain.
II.
RUMUSAN
MASALAH
1.
Apakah
yang dimaksud dengan relasi keterbagian?
2.
Bagaimana
sifat dan bukti dari sifat relasi keterbagian?
III.
PEMBAHASAN
A.
Definisi
Relasi Keterbagian
Definisi keterbagian atau divisibility adalah
sebuah bilangan bulat
, dimana
,
dikatakan membagi (habis)
, dan
jika terdapat bilangan bulat
, maka
, jika
tidak membagi habis
, maka
ditulis. Atau bisa
dikatakan juga sudut pandang matematika yang
mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.
Contoh :
1.
, karena
ada bilangan bulat, yaitu
, sehingga
2.
, karena
tidak ada bilangan bulat
, sehingga
Bilangan bulat
tersebut adalah tunggal. Sebab apabila ada
bilangan bulat
selain
sehingga :
dan
maka
sehingga
jika
dan
, maka tidak ada bilangan
yang memenuhi
, Tetapi jika
, dan
, maka terdapat
tak hingga bilangan bulat k yang memenuhi
.[1]
Apabila
,
dan
adalah bilangan-bilangan bulat dengan
dan
, maka k disebut
hasil bagi (quotient) dari
oleh
. Disebut pula
bahwa
adalah faktor dari
yang menjadi komplemen (sekawan) dari
, atau dengan
singkat dikatakan bahwa
dan
adalah pembagi-pembagi sekawan (komplementer)
dari
.
B.
Sifat- Sifat dan Bukti Sifat dari Relasi Keterbagian
Sifat B.1
: Jika
dan
maka
.
Bukti :
Ambil
anggota bilangan bulat dengan
, dan
maka
, Karena
maka
dan ada
, sehingga
. Karena
maka
dan ada
sehingga
. Karena
maka
sehingga diperoleh
dengan
sebagai konstanta.
Contoh:
a.
dan
maka
b.
dan
maka
c.
dan
maka
Sifat B.2
: Jika
maka
untuk setiap bilangan bulat
.
Bukti :
Ambil
dengan
, maka
untuk setiap
. Karena
habis
membagi
, maka
juga habis membagi setiap kelipatan dari
, sehingga
terbukti.
contoh
:
1.
maka
.
2.
maka
.
Sifat B.3
: Apabila
dan
maka
),
dan
.
Bukti :
i.
dan
berturut-turut berarti ada bilangan bulat
dan
sehingga
dan
. Dari kedua kesamaan ini, dengan menjumlahkan
diperoleh bahwa:
Karena penjumlahan bilangan-bilangan bulat bersifat
tertutup, maka
suatu
bilangan bulat yang tunggal. Menurut definisi di atas,
berarti
terbukti.[2]
ii.
Dengan
cara yang sama, apabila dikurangkan maka diperoleh:
Sehingga
benar dengan
sebagai konstanta.
Terbukti
iii.
Untuk membuktikan
, maka dapat dituliskan:
, berarti
terbukti.
Contoh
:
1.
dan
maka
atau
2.
dan
maka
atau
3.
dan
maka
atau
Sifat B.4 : Apabila
dan
maka
untuk setiap bilangan bulat m dan n
Bukti
:
·
Ambil
a, b, c
dengan
dan
, Adt:
untuk setiap m dan n
Berdasarkan
sifat B.2 :
Apabila
maka
untuk setiap m
, Apabila
maka
untuk setiap n
Berdasrkan
sifat B.3 :
Apabila
dan
maka
untuk setiap m, n
Contoh :
1.
dan
maka
=
=
2.
dan
maka
=
=
3.
dan
maka
=
=
Sifat B.5
(i)
untuk setiap bilangan bulat a (sifat
refleksif), dengan
(ii)
Jika
maka
untuk setiap bilangan bulat m, dengan
(iii)
Jika
dengan
maka
(iv)
dan
(v)
Jika
dengan
maka
(vi)
Jika
dengan
maka
=
Bukti Sifat B.5 :
(i)
untuk setiap bilangan bulat a (sifat
refleksif)
Bukti :
Ambil a
a ≠ 0, Adt :
Karena a = 1.a, k bilangan bulat (defenisi), maka
Contoh :
a.
b.
(ii)
Jika
maka
untuk setiap bilangan bulat m
Bukti :
Ambil a,b
dengan a ≠ 0, Adt :
, Karena
maka
dan ada k
sehingga
, k bilangan bulat (defenisi),
untuk setiap bilangan bulat m berlaku
dimana
(kedua ruas sama-sama dikali m)
dimana
dan
maka
karena
dan
dan k
maka
Contoh :
1.
maka
atau
2.
maka
atau
3.
maka
atau
(iii)
Jika
dengan
maka
Bukti :
Ambil m, a, b
dengan
Adt :
, Karena
maka
dan ada k
sehingga
, k, m bilangan bulat (defenisi)
..............................................................
(kedua ruas sama-sama dibagi dengan m) dengan
karena
, maka
karena
dan
dan k
maka
Contoh :
1.
maka
2.
maka
3.
maka
(iv)
dan
Bukti :
Ambil a
dengan
, Adt :
dan
Karena
maka
Karena
maka
Contoh:
1.
2.
3.
(v)
Jika
maka
Bukti :
maka
, k bilangan bulat (defenisi)
(sifat perkalian bilangan bulat dengan 0)
sehingga
Contoh :
1.
2.
0 = 7.0
3.
0
= (-9).(0)
(vi)
Jika
dengan
maka
Bukti :
·
Ambil
a, b
dengan
, Adt :
Karena
maka
dan ada
sehingga
=
karena
maka
akibatnya
0
Perhatikan bahwa
=
=
.
( sifat
=
.
)
karena 1
maka
1.
.
≤
Contoh :
1.
maka
2.
maka
3.
maka
(vii) Jika
dengan
maka
Bukti :
Ambil a,
b
dimana
dan
Adt :
Karena
maka
dan ada
sehingga
Karena
maka
dan ada
sehingga
Karena
dan
maka
Perhatikan bahwa
=
Karena
maka 1.
.........................(1)
=
=
.
karena
dan
maka
1
Perhatikan bahwa
=
.
Karena 1
maka 1.
.
......................(2)
Dari (1) dan (2) berlaku
=
Contoh :
a.
dengan
sehingga
=
b.
dengan
maka
=
IV.
KESIMPULAN
Dari penjelasan di atas
kita dapat mengetehui bahwa pada dasarnya relasi keterbagian merupakan bagian
dari ilmu matematika yang menerangkan tentang keterbagian suatu bilangan,
Khususnya bilangan bulat(integer)dan kami sertakan juga beberapa contohnya.
Relasi keterbagian itu
sendiri mempunyai beberapa sifat atau teorema yang telah kami jelaskan dan
buktikan seperti di atas.
V.
PENUTUP
Demikian
makalah yang dapat kami sampaikan. Kami menyadari bahwa makalah ini jauh dari
kesempurnaan, karena kesempurnaan hanyalah milik Yang Maha Kuasa. Maka kami
mengharap kritik dan saran yang membangun untuk menjadikan yang lebih baik.
Akhir kata, kami sebagai pemakalah memohon maaf apabila ada kesalahan dalam isi
makalah maupun sistematika penulisan makalah ini.
DAFTAR
KEPUSTAKAAN
Drs. Sukirman. M.Pd. PENGANTAR TEORI BILANGAN.2006 (Yogyakarta:Hanggar
Kreator)
Files.wordpress.com/2010/06/teori-bilangan. Pdf,
160312, jam 9:41
