metnum

PENERAPAN AKAR PERSAMAAN NON LINEAR PADA BIDANG FISIKA

Disusun Guna Memenuhi Tugas

Mata Kuliah: Metode Analisis Numerik

Dosen Pengampu: Any Muanalifah, M. Si

Disusun Oleh :

1.      Sulis Istianah               (113511027)

2.      Lia Fitriana                  (113511047)

3.      Rif’atul Hasanah         (113511056)

4.      Yohana Herawati        (123511067)

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI WALISONGO

SEMARANG

2015

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Tidak semua permasalahan matematis dalam penarikan akar persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Contohnya dalam persoalan yang melibatkan model matematika yang sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusinya. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberi solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat ( error ) sama dengan nol. Metode analitik seringkali hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana, padahal persoalan yang mincul dalam dunia nyata sering melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan / aritmatik biasa ( tambah, kurang, kali dan bagi ). Secara harafiah metode numerik memiliki arti sebagai cara berhitung dengan menggunakan angka – angka. Metode numerik yang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaikan persoalan – persoalan perhitungan yang rumit, saat inipun telah banyak yang menawarkan program – program numerik sebagai alat bantu perhitungan. Dengan menggunakan metode numerik permasalah non linear yang sangat rumitpun bisa terpecahkan dengan cepat menggunakan algoritma-algoritma pada metode tertentu di dalamnya. Contohnya dalam  penyelesai persamaan non linear pada materi gerak parabola, dan suara pada ilmu fisika

Kedua persoalan fisika terkait gerak parabola dan suara diatas akan sulit dikerjakan jika menggunakan cara manual, karena terlalu rumit maka menggunakan metode numerik dan dengan alat bantu mathlab, agar penyelesain soal tersebut mudah dan tidak memakan waktu yang sangat lama. Di dalam matematika numerik terdapat metode-metode yang sangat variasi dalam menyelesaikan soal contohnya adalah falsi,metode falsi biasanya digunakan dalam persamaan non linear. Metode falsi dipilih karena keakuratannya dengan tingkat eror yang sangat rendah dan lebih cepat dalam mendapatkan hampiran akar fungsi.

B.     Rumusan Msalah

Bagaimana penerapan akar-akar persaman nonlinear pada bidang fisika?

C.    Tujuan Penelitian

Mengetahui penerapan akar-akar persamaan non linear pada bidang fisika.

D.    Manfaat Penelitian

              Dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang berhubungan dengan bidang fisika antara lain adanya gerakan, percepatan, dan juga kecepatan. Hal tersebut memanfaatkan hukum-hukum fisika. Dengan adanya penelitian ini, maka hal tersebut membuktikan bahwa bidang fisika sangat erat hubungannya dengan kehidupan sehari-hari

BAB II

KAJIAN TEORI

A.    Regulasi Falsi

Sekarang ini banyak masalah matematis yang tidak dapat terselesaikan dengan menghitung secara manual saja, karena itu munculah metode numerik. Metode numerik adalah tehnik yang digunakan untuk memformulasikan persoalam matematik, metode numerik berangkat dari pemakaian alat bantu merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaiakan persoalan yang sangat sulit yang tidak dapat terselesaikan dengan hitungan manual., saat inipun telah banyak menawarkan program-program numerik sebagai alat bantu perhitungan.

Metode numerik disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat secara mudah dan cepat. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja perhitungan  yang mudah merupakan pertimbangan dalam menggunakan metode numerik. Di dalam metode numerik banyak sekali metode yang dikembangkan untuk menyelesaikan berbagai soal yang sangat rumit, dengan tingkat error yang berbeda-beda. Salah satunya adalah falsi, falsi digunakan karena memiliki kelebihan yaitu tingkat errornya yang sangat rendah. Metode numerik bisa menyelesaikan beberapa masalah terkait dengan ilmu fisika, kimia, dan matematika, dan biasanaya masalah yang diangkat pada metode numerik antara lain terkait dengan :

-          Menyelesiakan persamaan linear, ataupun non linear.

-          Menyelesaikan persamaan simultan dan multi variabel.

-          Menyelesaiakan diferensial dan integral

-          Interpolasi dan regresi

-          Masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal yang tidak bersyarat, dan lain-lain.

Dalam menggunakan metode numerik tidak seintans yang kita bayangkan, ada beberapa tahap yang harus dilakukan agar tidak terjadi masaalah dalam penyelesaian soal. Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik

1.      Pemodelan                                    4. Pemrograman

2.      Penyederhanaan model     5. Operasional

3.      Formulasi numerik            6. Evaluasi

Metode Falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan akar kemiringan dan selisih tinggi dari dua batas range. [1]Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range. Dengan metode regulasi falsi, dibuat garis lurus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b,f(b)). Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis lurus tadi seolah-olah berlaku menggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari akar. [2] Titik pendekatan yang yang digunakan pada metode regulasi falsi adalah :

Dengan kata lain nilai pendekatan  adalah nilai rata-rata range berdasarkan nilai pendekatan 

Algoritma metode Regulasi Falsi :

1.         Definisikan fungsi .

2.         Tentukan batas atas (a) dan batas bawah (b).

3.         Tentukan toleransi errornya (e) dan itersi maksimumnya (N).

4.         Hitung Fa =  dan Fb=

5.         Untuk itersi i = 1 s/d n atau error> e

-          Hitung

-          Hitung

-          Hitung error

-          Jika . maka  jika tidak  dan

6.         Akar persamaan adalah x .

Secara umum, metode rulasi falsi lebih cepat konvergensinya dibandingkan dengan metode bagidua. Namun, pada beberapa kasus kecepatan konvergensinya justru lebih lambat.

Flow chart regulasi falsi

B.     Gerak Parabola

Salah satu contoh gerak melengkung dengan percepatan konstan adalah gerak parabola (peluru/proyektil). Gerak ini adalah gerak dua dimensi dari partikel yang dilemparkan miring ke udara. Pengaruh gesekan udara, gerakan bumi, dan variasi percepatan a karena gravitasi (diabaikan semua untuk mempermudah perhitungan). Gerak peluru adalah gerak dengan percepatan konstan g yang berarah ke bawah, dan tidak ada komponen percepatan dalam arah horizontal.[3] Contoh umum gerak parabola ialah gerak benda yang dilemparkan keatas berbentuk sudut tertentu terhadap permukaan tanah. Ketika benda dilemparkan keatas membentuk sudut tertentu yang disebut sudut elevasi  lintasan yang ditempuh sudut tersebut berupa garis lengkung atau parabola. Pada gerak parabola, gerak pada arah vertikal atau sumbu dipengaruhi oleh percepatan konstan, maka pada arah sumbu terjadi gerak lurus berubah beraturan. Sementara itu, gerak lurus bertuaran terjadi pada arah sumbu karena arah ini tidak ada percepatan.

Gerak parabola dapat dipandang dalam dua arah, yaitu gerak vertikal (sumbu y) yang merupakan gerak lurus berubah beraturan, dengan gerak horizontal (sumbu x) yang merupakan gerak lurus beraturan.

No	Persamaan gerak arah-x	Persamaan gerak arah-y
1	Vx=V0x+axt	Vy=V0y+ayt
2	x=x0+	y=y0+
3	x=x0+Voxt+	y=y0+Voyt+
4

Fungsi gerak parabola cukup banyak misalnya dalam kimiliteran yaitu pada saat menembakan rudal maupun mortir yaitu membantu rudal untuk bisa mencapai tempat lawan dengan gerakan benda berbentuk parabola ketika di berikan kecepatan awal dari ketinggian tertentu dengan sudut tetap terhadap garis horizontal sehingga dapat mencapai tempat tertentu dan menembakkan kearah yang benar atau mencapai tempat yang diinginkan rudal ataupun mortir tersebut. Persamaan khusus gerak parabola ialah :

C.    Bunyi (suara)

Definisi yang paling umum dari bunyi (sound) adalah bahwa bunyi sebuah gelombang longitudinal dalam suatu medium. Gelombang bunyi yang paling sederhana adalah gelombang sinusoidal yang mempunyai frekuensi amplitudo dan panjang gelombang tertentu.[4]

Jika sebuah sumber bunyi dapat ditinjau sabagai sebuah titik, maka intensitas di suatu jarak   dari sumber itu berbanding terbalik dengan . Ini secara langsung didapat dari kekekalan energi: jika daya keluaran dari sumber itu adalah , maka intensitas rata-rata  melalui sebuah bola dengan jari-jari  dan luas permukaan  adalah

Intensitas rata-rata  melalui sebuah bola dengan jari-jari  yang berbeda diberikan oleh pernyataan yang serupa. Jika tidak ada energi yang diserap di antara kedua bola itu, maka daya  haruslah sama untuk keduanya, dan

Maka intensitas  di sebarang jarak  berbanding terbalik dengan . Hubungan “kuadrat terbalik” ini juga berlaku untuk berbagai situasi aliran energi lainnya dengan sebuah sumber titik, seperti cahaya yang dipancarkan oleh sebuah sumber titik.[5]

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

A.    Permasalahan Pertama

Level suara L (decibels,db) pada suatu titik ditentikan dari jarak titik tersebut dari sumber suara dan db level dari sumber suara. Hubungan diberikan oleh persamaan:

 

 adalah level suara pada jarak 1 m dari sumber suara. Sedangkan   adalah koefisien atenuasi dari media di mana gelombang suara bergerak, yang dalam hal ini adalah udara.  tergantung dari kondisi udara yang dipengaruhi antara lain oleh temperatur dan viskositas, kelembaban.

Untuk  = 85 db dan =, tentukan jarak dari sumber suara lokasi di mana L= 20 db

Penyelesaian:

Untuk permasalahan di atas, dapat diselesaikan menggunakan regulasi falsi.

Diketahui:

Persamaan

 = 85 db

=

Ditanyakan: r.....?

Jawab:

Setelah persamaan tersebut terbentuk, selanjutnya dapat diselesaikan dengan merode regulasi falsi.

o   Buat grafik persamaan tersebut untuk menentukan batas atas dan batas bawah dengan memisalkan r = x

Dari gambar diatas terlihat bahwa grafik berada pasisi 0 yaitu diantara titik 25 dan 30. Sehingga dapat ditetapkan batas bawah adalah 25 dan batas atas adalah 30

o  Buat persamaan tersebut pada matlab

o   Selanjutnya dapat dilihat hasinya

Dari tabel di atas dapat diketahui akar pada persamaan tersebut adalah 25,7522

Kesimpulan

Jadi, jarak dari sumber suara lokasi di mana L= 20 db adalah 25,7522 m

B.        Permasalahan Kedua

Sebuah meriam menembakkan peluru dengan kecepatan V dengan kemiringan . Posisi peluru diberikan oleh persamaan :

 

Untuk V = 500 m/s dan g = 9,81 m/, berapa sudut kemiringan meriam untuk menembakkan target pada posisi x = 175 m dan y = 20 m.

Penyelesaian:

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan metode regulasi falsi.

Diketahui:

V = 500 m/s

g = 9,81 m/

x = 175 m

y = 20 m

ditanyakan: sudut kemiringan ().....?

jawab:

Setelah persamaan tersebut terbentuk, selanjutnya dapat diselesaikan dengan merode regulasi falsi.

o   Buat grafik persamaan tersebut untuk menentukan batas atas dan batas bawah dengan memisalkan  = x

o   Buat persamaan tersebut pada matlab

o   Selanjutnya dapat dilihat hasinya

Dari tabel di atas dapat diketahui akar pada persamaan tersebut adalah 89,5353

Kesimpulan

Jadi, besar sudut kemiringan meriam adalah 25,7522 m.

BAB V

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Metode regulasi falsi dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bidang fisika, diantaranya:

1.      Menentukan jarak dari sumber suara ke lokasi.

Dengan rumus;

2.      Menghitung sudut kemiringan meriam untuk menembakkan target.

Dengan rumus:

B.     Saran

  Demikian makalah kami, semoga selalu bermanfaat bagi semua pembaca. Dalam pembuatan makalah ini, tentunya kami masih terdapat banyak kesalahan baik dari segi isi, tata bahasa, dan teknik penulisan. Untuk itu, kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat kami harapkan sebagai pedoman untuk  menyusun makalah-makalah selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Samuel D.Conte, Dasar-Dasar Analisis Numerik, Jakarta: Erlangga, 1980

Rinaldi, Munir, Metode Numerik, Bandung : Informatika Bandung, 2008

Purwoko, Fendi, Fisika 2, Jakarta:Yudhistira 2006

Sears dan Zemansky, Fisika Universitas, Jakarta: Erlangga, 2005

---

[1] Samuel D.Conte, Dasar-Dasar Analisis Numerik, (.... : Erlangga, 1980) hlm.65

                [2] Rinaldi Munir, metode numerik, (Bandung : Informatika Bandung, 2008), hlm. 72

[3] Purwoko, Fendi, Fisika 2, Yudhistira, hlm.14

[4] Sears dan Zemansky, Fisika Universitas, Erlangga edisi 10 jilid 2, hlm 58

[5] Sears dan Zemansky, Fisika Universitas, Erlangga edisi 10 jilid 2, hlm 65